Este, esse e aquele são demonstrativos. Eles mostram a posição de algo no espaço, no tempo ou no discurso. Em português, o uso básico é claro, mas alguns usos variam entre Brasil e Portugal, sobretudo na referência a algo já dito ou a algo que vai ser dito.

No uso espacial, este indica algo perto de quem fala. Esse indica algo perto de quem ouve. Aquele indica algo longe dos dois.

Regra
Use este para algo que está perto da pessoa que fala.
Use esse para algo que está perto da pessoa que ouve.
Use aquele para algo que está longe de quem fala e de quem ouve.

Esses demonstrativos mudam conforme o género e o número. Há formas para masculino, feminino, singular e plural.

Forma	Definição
este, esta, estes, estas	Estas formas indicam proximidade de quem fala.
esse, essa, esses, essas	Estas formas indicam proximidade de quem ouve ou referência ao que já foi mencionado.
aquele, aquela, aqueles, aquelas	Estas formas indicam distância de ambos ou referência mais distante.

No discurso, este e esse podem apontar para partes do texto ou da fala. Em muitos usos, esse retoma algo já mencionado. Este pode apontar para algo que vem a seguir. Na prática, essa diferença nem sempre é seguida da mesma forma por todos os falantes.

Regra
Use esse para retomar uma ideia já mencionada em muitos contextos.
Use este para anunciar uma ideia que ainda vai aparecer em muitos contextos.
A escolha entre este e esse pode variar conforme a região e o estilo.

Também se pode usar estes demonstrativos para situar momentos no tempo. Este costuma ligar-se ao tempo presente ou muito próximo. Aquele liga-se a um tempo mais distante. Esse pode aparecer para um tempo próximo do interlocutor ou para referência temporal já conhecida no contexto.

Regra
Use este para o momento presente ou para um período muito próximo de agora.
Use esse para um momento temporal identificado no contexto.
Use aquele para um tempo percebido como mais distante.

Há variação real entre português do Brasil e português de Portugal. No uso diário, muitos falantes usam esse de modo mais amplo no discurso. Em contextos formais, algumas gramáticas mantêm a distinção mais rígida entre este e esse.

Região	Palavra ou expressão	Definição regional
Brasil	esse	No português do Brasil, esse aparece muitas vezes para retomar ideias e também em situações em que a distinção com este fica mais fraca.
Portugal	este	No português de Portugal, a distinção entre este e esse costuma aparecer com mais força em vários contextos.
Brasil e Portugal	aquele	Aquele mantém de forma mais estável a ideia de distância maior no espaço, no tempo ou no discurso.

Agora, você pode escolher este, esse e aquele com base em três ideias. Use este para o que está perto de quem fala ou para algo que vai ser apresentado. Use esse para o que está perto de quem ouve ou para algo já mencionado, lembrando que esse uso varia. Use aquele para o que está distante de ambos ou mais distante no tempo e no discurso.